Conexiones, conectivas, funtores o juntores (es todo lo mismo) y símbolos de proposiciones (A, B, p, q...)
La conjunción, la disyunción y la
implicación son las tres formas en las que se vinculan unas
proposiciones a otras. Realmente basta con la conjunción y la
disyunción (“y”, “o”) porque la implicación se define con
las otras dos. La conjunción se simboliza también con ^ porque el "tejado" significa unión de lo que está a ambos lados; la disyunción se simboliza también con V porque simboliza una "bifurcación", una disyuntiva. La flecha para la implicación ("Si A entonces B", "A implica B", "A---->B") se explica por sí sola... La negación se simboliza de varios modos, una "L" invertida o una raya a la izquierda de la proposición o encima de ella.
Se usan las mayúsculas de la A a la C para hablar de las reglas y las leyes en general. Y se suelen usar -aunque no siempre- las letras desde la p (de "preposición") hasta la s para las proposiciones. Las letras mayúsculas de la A a la C son como los símbolos del Álgebra en Matemáticas mientras que las letras minúsculas, desde la p en adelante -se insiste: normalmente hasta la s-, serían como los números (Aritmética):
Se dice a x b es igual que b x a (Álgebra)
Y se usa 3 x 2 es igual a 2 x 3 (Aritmética)
Pues del mismo modo se dice la regla:
A implica B
A
____
En conclusión B
O en forma de ley: "A implica B" y "A" implican ambas "B"
Y se aplicaría así a un caso práctico:
Sea p que Ucrania ha sido abandonada por la Unión Europea
Sea q Ucrania queda a la merced de Rusia
Formalice usted lo siguiente y extraiga una conclusión: "Que Ucrania sea abandonada por la Unión Europea implica que queda a merced de Rusia", "Ucrania ha sido abandonada por la Unión Europea".
p ---> q
p
____
q
O en forma de aplicación de la ley:
[(p ----> q) ^ p] -------> q
Aclaración importante:
La disyunción (“V”) no significa "o bien". La disyunción de dos proposiciones cualesquiera es verdadera si tan sólo una de ellas lo es. Si yo digo “Te dormiste o perdiste el autobús esta mañana” basta con que una de ellas sea verdadera para que yo esté diciendo la verdad.
La disyunción (“V”) no significa "o bien". La disyunción de dos proposiciones cualesquiera es verdadera si tan sólo una de ellas lo es. Si yo digo “Te dormiste o perdiste el autobús esta mañana” basta con que una de ellas sea verdadera para que yo esté diciendo la verdad.
No ocurre lo mismo con la conjunción.
Un alumno me puede acusar, con razón, de estar faltando a la verdad si le digo “Te dormiste y perdiste el autobús esta mañana”. Basta con que una no sea verdadera para que el alumno tenga razón.
La implicación:
La relación de implicación resulta muy difícil de entender al principio. Muchas personas creen que decir que A implica B (“Si A entonces B”) significa que A es causa de B. Esto no es así. Si yo digo que “Si ves rayos entonces escucharás truenos” no estoy diciendo que los rayos sean causa de los truenos. Si se le dice a un alumno que en mi asignatura “Si has aprobado entonces has estudiado” no estoy queriendo decir que aprobar sea la causa de estudiar pero tampoco al revés. La implicación sólo es falsa si el antecedente (A) es verdadero y el consecuente (B) es falso. Este es el único caso que EN BUENA LÓGICA no puede ser verdadero. Pongamos que yo me empeño por ejemplo en decir que es verdad que una teoría científica verdadera implica que los objetos caen de abajo a arriba en la Tierra.... No tiene sentido. Sin embargo a los alumnos les cuesta ver que es perfectamente posible que algo falso implique algo verdadero y que esa implicación sea verdadera a la vez. La teoría física de Aristóteles era enteramente falsa pero implicaba verdades tales como que los objetos proyectados en ángulo de noventa grados con la tierra caían sobre el mismo punto desde el que se lanzaban. La teoría es falsa, lo que implica la teoría es verdadero y que esa teoría implica eso es, a su vez, verdadero. Finalmente, también les cuesta entender que lo falso implica lo falso. Y, sin embargo, es muy sencillo de entender: “Si yo hubiera muerto ayer esta mañana mis hijos serían huérfanos de padre”. Ambas son falsas. La implicación entre ambas es verdadera.
La relación de implicación resulta muy difícil de entender al principio. Muchas personas creen que decir que A implica B (“Si A entonces B”) significa que A es causa de B. Esto no es así. Si yo digo que “Si ves rayos entonces escucharás truenos” no estoy diciendo que los rayos sean causa de los truenos. Si se le dice a un alumno que en mi asignatura “Si has aprobado entonces has estudiado” no estoy queriendo decir que aprobar sea la causa de estudiar pero tampoco al revés. La implicación sólo es falsa si el antecedente (A) es verdadero y el consecuente (B) es falso. Este es el único caso que EN BUENA LÓGICA no puede ser verdadero. Pongamos que yo me empeño por ejemplo en decir que es verdad que una teoría científica verdadera implica que los objetos caen de abajo a arriba en la Tierra.... No tiene sentido. Sin embargo a los alumnos les cuesta ver que es perfectamente posible que algo falso implique algo verdadero y que esa implicación sea verdadera a la vez. La teoría física de Aristóteles era enteramente falsa pero implicaba verdades tales como que los objetos proyectados en ángulo de noventa grados con la tierra caían sobre el mismo punto desde el que se lanzaban. La teoría es falsa, lo que implica la teoría es verdadero y que esa teoría implica eso es, a su vez, verdadero. Finalmente, también les cuesta entender que lo falso implica lo falso. Y, sin embargo, es muy sencillo de entender: “Si yo hubiera muerto ayer esta mañana mis hijos serían huérfanos de padre”. Ambas son falsas. La implicación entre ambas es verdadera.
Una vez explicada la semántica de la
“y”, la “o” y su derivada “implica”, se pueden comprender
mejor las reglas lógicas de cada una de estas conectivas.
Reglas lógicas (expresables en forma de leyes)
Hay dos clases de reglas.
a) Las reglas que se usan para poder
cambiar la forma en que están organizadas las proposiciones como,
por ejemplo, la regla de equivalencia que puede expresarse como ley distributiva de la “y” respecto de la “o”; es
la que dice que “ A y (B o C)” es lo mismo que “(A y B) o (B y C)". Ejemplo: Decir
“Te has dormido y o has perdido el autobús o tu padre encontró
atasco” es lo mismo que decir “Te has dormido y has perdido el autobús o te has
dormido y tu padre encontró atasco”.
b) Las reglas de
transformación -que se pueden expresar como leyes usando “implica”.
Veamos un ejemplo
con las reglas de la “y”.
Con la “y” ambas proposiciones han
de ser verdaderas. De modo que puedo extraer una de ellas sin
problema. La regla que permite tal cosa se llama "simplificación" o "eliminación dela conjunción"; tengo “A y B” así que puede aislarse “A” o “B”.
La regla sería así (probemos a aislar "B")
A y B Hoy es jueves y hace
calor
_____ ___________________
B Ciertamente, hace
calor
Si quiero expresar esta regla como
una ley puedo decir:
“(A y B) implica B” (Que hoy sea jueves y
haga calor implica que hace calor). Expresado así parece una obviedad, una "tontería" que no dice nada nuevo, pero hay que observar que esta regla de razonamiento se usa constantemente. De aquello que decimos o que oímos decir a los demás extraemos y aislamos proposiciones "interesantes" (o "interesadas", como hacen los políticos). Esta operación la hacen también los computadores en virtud de su programas.
Los computadores diseñados para interceptar misiles enemigos en la Segunda Guerra Mundial operaban -y lo siguen haciendo hoy, incluyendo los dispositivos móviles- con unos lenguajes basados los dos operadores de Boole ("AND", "OR"), es decir, en la conjunción y la disyunción que pueden traducirse usando tablas de verdad (utilizadas por Wittgenstein anteriormente) a código binario de unos y ceros.
Los computadores diseñados para interceptar misiles enemigos en la Segunda Guerra Mundial operaban -y lo siguen haciendo hoy, incluyendo los dispositivos móviles- con unos lenguajes basados los dos operadores de Boole ("AND", "OR"), es decir, en la conjunción y la disyunción que pueden traducirse usando tablas de verdad (utilizadas por Wittgenstein anteriormente) a código binario de unos y ceros.
